# Mathematics

This page lists some mathematical properties of multi-dimensional puzzles, mostly numbers of their positions.

There may be non-mathematicians reading this, so here is an introduction to these issues; however, some calculations may be of more advanced level:
If we have a pieces, we can permute them a! ways; this can be easily shown: suppose we remove all the pieces. If we are placing the first one, there are a ways to do so. For the second piece, there are, however, only a − 1, since one is already occupied by the first piece, and both these pieces have together a × (a − 1) permutations as there are a − 1 positions of the second piece per each of the a positions of the first piece. If we continue this way, it becomes clear that there are a × (a − 1) × (a − 2) × ... × 3 × 2 × 1 (we actually have no choice for the last a-th piece), which is conventionally denoted as a!.
Now, each of the a pieces can be oriented b if it stays in place. This means that there will be ba ways to only orient the pieces if we do not permute them, because there are b orientations of the first piece per b orientations of the second piece etc.
Multiplying these numbers should give us the total number of a puzzle’s positions (there are ba orientations per each of a! permutations), but it often happens that not all of them are reachable by using legal moves, and we have to divide this figure due to constraints (if the pieces’ permutations have for example even parity, the permutation constraint c = 2 because only half of the permutations are attainable (even). With regard to orientations, we can say that all but last pieces have ba − 1 orientations in total and it may happen that the last piece cannot reach all orientations, so it has only b/d, where d is the orientation constraint. Also, if there are some pieces that are not distinguishable from each other and we swap them, the change will not be visible, and we therefore regard them as the same position. If there are sets of e indistinguishable pieces, we have to divide by e!a/e as a consequence, because the e! possible permutations of a set are not distinguishable and there are (logically) a/e such sets).

The general structure of the data presented here is of this form:

• n-coloured pieces type X: count (a); number of orientations (b); permutation constraint (c); orientation constraint (d); indistinguishability constraint (e)

The position count of a row is then a!/(c × e!a/e) × (ba)/d.
Number of positions of the whole puzzle is the product of position counts of all its rows.

The pieces are divided first by number of colours and then by types, which are determined by orbits – a piece in a given type can reach the positions of all other pieces in that type by legal moves.
The types are listed in such order that they go “from centre”.
They are named based on which feature of the shape are they in, so for example on tesseract, “1-coloured type 1.3” means that it is on face (1) of a cube and on that face it is in the corner (3). “Two-coloured type 2.2” signifies that it is on edge of a square and that it is alternative (2; just to distinguish between it and type 2.1, because they behave differently). Subscripts are added to number pieces which would get the same type.
When listing general properties of a class of puzzles, it is first noted how many times does the type appear.

Values in parentheses are a “common constraint”, and are counted as one. This happens when more types of pieces have a given parity together, so that one may for example perform only odd permutations of both or even permutations of both. This would result in c = 2, counted only once despite applying to two types.
When is a whole type or number of some pieces is in parentheses and italics, it means that (some of) those pieces are there, but are immobile. By “mobile”, I mean permutable and/or orientable, that is, mobile are pieces that can change their state.
Numbers of pieces in square brackets denote the impossibility of permuting this type of pieces.

Some puzzles have no fixed reference points, and it is necessary to include a “puzzle orientation constraint”, because we counted all its positions in all of the puzzle’s orientations. This constraint is equal to the number of orientations of the whole m-dimensional shape. This can also be viewed as fixing one piece in place.

Numbers in this page are named according to Conway’s and Guy’s naming scheme extended in Saibian’s fashion when necessary.

Calculated by Jakub Štepo unless stated otherwise. Please note that some of the results may be unverified, as they are based on theoretical predictions rather than actual solving.

## MagicCube4D

### {3,3,3}

• Shape: regular 5-cell (pentachoron)
• Cells (colours): 5 regular tetrahedra {3,3}
• Faces: 10 equilateral triangles {3}
• Edges: 10
• Vertices: 5

#### Length 2

• 4-coloured: type 1: [5]; 12; 1; 1; 1
• (5-coloured: 1)
• Total pieces: 5 (6)
• Total stickers: 25

Number of positions:
125 =
= 248 832 ≈
≈ 2.49 × 105
= 248 thousand 832

#### Length 3

• 3-coloured: type 1: 10; 6; 2; 2; 1
• 4-coloured: 10
• Type 1: [5]; 12; 1; 1; 1
• Type 2: [5]; 12; 1; 1; 1
• Total pieces: 20
• Total stickers: 70

Number of positions:
10!/2 × 610/2 × (125)2 =
= 3 396 471 743 308 934 991 052 800 ≈
≈ 3.40 × 1024
≈ 3 septillion 396 sextillion (short scale) / 3 quadrillion 396 trilliard (long scale)

#### Length 4

• 2-coloured: type 1: 10; 2; 2; 2; 1
• 3-coloured: 30
• Type 1: 10; 6; 2; 2; 1
• Type 2: 20; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 10
• Type 1: [5]; 12; 1; 1; 1
• Type 2: [5]; 12; 1; 1; 1
• Total pieces: 50
• Total stickers: 150

Number of positions:
10!/2 × 210/2 × 10!/2 × 610/2 × 20!/2 × 320/3 × (125)2 =
= 4 460 971 667 252 991 547 434 208 214 041 871 442 189 607 102 945 689 600 000 000≈
≈ 4.46 × 1060
≈ 4 novemdecillion 461 octodecillion (short scale) / 4 decillion 461 nonilliard (long scale)

#### Length 5

• 1-coloured: type 1: 5; 1; 2; 1; 1
• 2-coloured: 40
• Type 1: 10; 2; 2; 2; 1
• Type 3: 30; 2; 1; 2; 3
• 3-coloured: 50
• Type 1: 10; 6; 2; 2; 1
• Type 21: 20; 3; 2; 3; 1
• Type 22: 20; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 10
• Type 1: [5]; 12; 1; 1; 1
• Type 2: [5]; 12; 1; 1; 1
• Total pieces: 105
• Total stickers: 275

Number of positions:
5!/2 × 10!/2 × 210/2 × 30!/(3!10) × 230/2 × 10!/2 × 610/2 × (20!/2 × (320)/3)2 × (125)2 =
= 891 244 004 975 919 897 976 748 360 350 536 026 444 717 921 800 196 028 281 830 709 220 726 284 058 861 218 760 784 054 113 171 564 134 400 000 000 000 000 000 000 ≈
≈ 8.91 × 10122
≈ 891 noventrigintillion 244 octotrigintillion (short scale) / 891 vigintillion 244 novendecilliard (long scale)

### {4,3,3}

• Shape: tesseract
• Cells (colours): 8 cubes {4,3}
• Faces: 24 squares {4}
• Edges: 32
• Vertices: 16

Length n, n ≥ 2:

• 1-coloured: ((n − 2)3n mod 2) × 8 ((n − 2)3 × 8)
• (Type 0: 8 n mod 2)
• Type 1.1: 48; 1; 1; 1; 6; × (n − 3)/2 × n mod 2
• Type 1.2.1: 192; 1; 1; 1; 24; × (n − 5)(n − 3)/2 × n mod 2
• Type 1.2.2: 192; 1; 1; 1; 24; ×⌊(‘'n − 6)/2⌋⌊(n − 4)/2⌋⌊(n − 2)/2⌋/3
• Type 1.3: 192; 1; 1; 1; 24; × ⌊(n − 4)/2⌋⌊(n − 2)/2⌋/2
• Type 2.1: 96; 1; 1; 1; 12; × (n − 3)/2 × n mod 2
• Type 2.2: 192; 1; 1; 1; 24; × ⌊(n − 4)/2⌋⌊(n − 2)/2⌋/2
• Type 3: 64; 1; 1; 1; 8; × ⌊(n − 2)/2⌋
• 2-coloured: (n − 2)2 × 24
• Type 1: 24; 2; 2; 2; 1; × n mod 2
• Type 2.1: 96; 2; 1; 2; 4; × (n − 3)/2 × n mod 2
• Type 2.2: 192; 1; 1; 1; 4; × ⌊(n − 4)/2⌋⌊(n − 2)/2⌋/2
• Type 3: 2; 1; 2; 4; × ⌊(n − 2)/2⌋
• 3-coloured: (n − 2) × 32
• Type 1: 32; 6; 2; 2; 1; × n mod 2
• Type 2: 64; 3; 2; 3; 1; × ⌊(n − 2)/2⌋
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1; × 1
• Puzzle orientation constraint: 192; × (n + 1) mod 2
• Total pieces: n4 − (n − 2)4 - n mod 2 (n4 − (n − 2)4)
• Total stickers: 8n3

Number of positions:
((((48! × 96!2 × 296)/(6!8 × 12!8 × 4!24 × 2))(n − 3)/2 × (24! × 32! × 224 × 632)/(23))n mod 2 × (192!/(24!8))(n − 5)(n − 3)/2 × n mod 2 + ⌊(n − 4)/2⌋⌊(n − 2)/2⌋⌊n/2⌋/3 × ((64!2 × 364)/(8!8 × 2 × 3))⌊(n − 2)/2⌋ × (192!/(4!48))⌊(n − 4)/2⌋⌊(n − 2)/2⌋/2 × (16! × 1216)/(2 × 3))/(192(n + 1) mod 2)

#### Length 2

• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Puzzle orientation constraint: 192
• Total pieces: 16
• Total stickers: 64

Number of positions:
(16!/2 × 126/3)/192 =
= 3 357 894 533 384 932 272 635 904 000 ≈
≈ 3.36 × 1027
≈ 3 octillion 358 septillion (short scale) / 3 quadrilliard 358 quadrillion (long scale)

#### Length 3

For more details, see Mathematics/Length-3 Tesseract.

• (1-coloured: type 0: 8)
• 2-coloured: type 1: 24; 2; (2); 2; 1
• 3-coloured: type 1: 32; 6; (2); 2; 1
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Total pieces: 72 (80)
• Total stickers: 216

Number of positions:
(24! × 32!)/2 × 224/2 × 632/2 × 16!/2 × 1216/3 =
= 1 756 772 880 709 135 843 168 526 079 081 025 059 614 484 630 149 557 651 477 156 021 733 236 798 970 168 550 600 274 887 650 082 354 207 129 600 000 000 000 000 ≈
≈ 1.76 × 10120
≈ 1 noventrigintillion 757 octotrigintillion (short scale) / 1 vigintillion 757 novendecilliard (long scale)

##### Symmetry

Here are numbers of positions symmetric under some conjugacy class, using Greg Egan’s notation:

• e: 1 756 772 880 709 135 843 168 526 079 081 025 059 614 484 630 149 557 651 477 156 021 733 236 798 970 168 550 600 274 887 650 082 354 207 129 600 000 000 000 000
• (1,−)4: 11 497 557 803 313 571 701 881 319 062 903 855 825 682 866 660 890 902 528 000 000
• (1,−)2: 6 271 395 165 443 766 382 844 355 852 493 012 268 554 290 905 940 492 288 000 000
• (2,+): 426 893 024 140 465 883 454 209 890 713 600
• (1,−)2(2,+): 71 148 837 356 744 313 909 034 981 785 600
• (2,+)2: 106 723 256 035 116 470 863 552 472 678 400
• (2,−)2: 149 318 932 510 565 866 258 198 948 868 881 244 489 387 878 712 868 864 000 000
• (1,−)(2,−): 127 750 642 259 039 685 576 459 100 698 931 731 396 476 296 232 121 139 200 000
• (3,+): 1 237 680 706 117 919 967 859 807 513 199 071 199 232 000
• (1,−)(3,−): 43 129 799 915 034 095 124 480
• (4,+): 230 844 665 274 826 752
• (1,−): 1 856 873 273 785 608 466 117 989 769 149 838 721 779 822 477 836 435 975 045 120 000 000
• (1,−)3: 137 970 693 639 762 860 422 575 828 754 846 269 908 194 399 930 690 830 336 000 000
• (2,−): 11 911 481 795 714 655 997 805 044 354 212 748 848 156 298 016 980 992 000 000
• (1,−)2(2,−): 34 492 673 409 940 715 105 643 957 188 711 567 477 048 599 982 672 707 584 000 000
• (1,−)(2,+): 426 893 024 140 465 883 454 209 890 713 600
• (2,−)(2,+): 213 446 512 070 232 941 727 104 945 356 800
• (3,−): 32 347 349 936 275 571 343 360
• (1,−)(3,+): 1 572 081 206 902 992 767 287 296
• (4,−): 1 280 679 072 421 397 650 362 629 672 140 800

Dividing their sum by 384 (the total number of symmetries of the tesseract) gives us
4 574 929 376 846 707 924 918 036 664 273 502 759 412 720 391 014 473 055 557 864 106 301 875 758 650 990 456 653 060 234 022 928 953 153 029 428 983 365 632 ≈
≈ 4.57 × 10117
≈ 4 octotrigintillion 575 septentrigintillion (short scale) / 4 novendecilliard 575 novendecillion (long scale)
essentially different positions of this puzzle up to symmetry.

##### Antisymmetry

The number of purely antisymmetric (without additional symmetry operations; self-inverse, order 2) positions of this puzzle is found to be equal to
1 514 851 187 547 945 564 174 052 809 349 480 746 221 364 817 706 402 235 357 461 479 424 ≈
≈ 1.51 × 1066
≈ 1 unvigintillion 515 vigintillion (short scale) / 6 undecillion 515 decilliard (long scale).

#### Length 4

• 1-coloured: type 3: 64; 1; 1; 1; 8
• 2-coloured: type 3: 96; 2; 1; 2; 4
• 3-coloured: type 2: 64; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Puzzle orientation constraint: 192
• Total pieces: 240
• Total stickers: 512

Number of positions:
(64!/(8!8) × 96!/(4!24) × 296/2 × 64!/2 × 364/3 × 16!/2 × 1216/3)/192 =
= 130 465 639 524 605 309 368 634 620 044 528 122 859 025 488 438 611 959 323 482 221 544 701 493 566 589 669 139 598 204 956 926 940 147 059 366 252 849 247 482 898 636 104 705 417 194 760 866 897 307 590 845 202 461 293 100 468 293 214 262 958 591 194 739 437 727 430 945 469 384 490 361 714 647 847 550 801 897 750 293 894 453 665 815 572 829 257 758 907 425 128 919 808 862 616 259 604 997 210 112 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈
≈ 1.30 × 10344
≈ 130 tredecicentillion 466 duodecicentillion (short scale) / 130 septenquinquagintillion 466 sesquinquagintilliard (long scale)

#### Length 5

• 1-coloured: 208 (216)
• (Type 0: 8)
• Type 1.1: 48; 1; 1; 1; 6
• Type 2.1: 96; 1; 1; 1; 12
• Type 3: 64; 1; 1; 1; 8
• 2-coloured: 216
• Type 1: 24; 2; (2); 2; 1
• Type 2.1: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 3: 96; 2; 1; 2; 4
• 3-coloured: 96
• Type 1: 32; 6; (2); 2; 1
• Type 2: 64; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Total pieces: 536 (544)
• Total stickers: 1 000

Number of positions:
48!/(6!8) × 96!/(12!8) × 64!/(8!8) × (24! × 32!)/2 × 224/2 × 632/2 × (96!/(4!24) × 296/2)2 × 64!/2 × 364/3 × 16!/2 × 1216/3 =
= 123 657 056 923 899 002 698 227 805 778 387 808 933 769 666 084 597 331 170 345 244 675 638 825 481 620 700 008 237 306 084 142 730 598 637 705 860 008 300 844 182 287 747 674 018 136 874 315 751 080 178 664 887 107 264 876 848 935 590 538 625 767 958 284 656 419 396 560 246 923 935 065 962 447 405 384 165 866 873 326 263 467 921 778 683 862 961 389 770 831 926 039 889 601 733 193 275 112 578 283 448 018 613 526 925 847 925 558 456 540 351 327 099 176 534 335 451 141 045 209 002 537 535 755 031 468 961 150 691 008 214 712 492 137 716 092 251 416 854 303 972 448 469 954 444 917 129 644 451 683 375 275 906 483 623 456 408 625 743 663 232 956 462 751 569 098 735 992 247 230 927 473 597 130 714 467 427 915 529 825 001 467 413 803 400 014 037 257 220 682 520 596 555 932 663 885 324 005 539 599 667 276 944 926 310 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈
≈ 1.24 × 10701
≈ 123 duotrigintaducentillion 657 untrigintaducentillion (short scale) / 123 sedecicentilliard 657 sedecicentillion (long scale)

#### Length 6

• 1-coloured: 512
• Type 31: 64; 1; 1; 1; 8
• Type 1.3: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.2: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 32: 64; 1; 1; 1; 8
• 2-coloured: 384
• Type 31: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.2: 192; 1; 1; 1; 4
• Type 32: 96; 2; 1; 2; 4
• 3-coloured: 128
• Type 21: 64; 3; 2; 3; 1
• Type 22: 64; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured 16; 12; 2; 3; 1
• Puzzle orientation constraint: 192
• Total pieces: 1 040
• Total stickers: 1 728

Number of positions:
((64!/(8!8))2 × (192!/(24!8))2 × (96!/(4!24) × 296/2)2 × 192!/(4!48) × (64!/2 × 364/3)2 × 16!/2 × 1216/3)/192 =

= 264 343 239 763 132 077 850 013 455 367 395 882 069 920 764 915 176 617 615 896 425 604 772 617 395 476 791 807 544 912 068 783 367 475 497 344 654 390 039 776 935 146 828 007 877 209 739 947 496 200 882 251 028 332 070 620 913 612 639 733 391 972 191 751 218 779 811 162 066 518 418 201 513 821 485 710 066 286 540 019 140 424 063 030 142 936 036 321 499 646 671 243 887 366 080 149 129 230 864 249 214 953 560 727 310 608 535 010 878 238 067 105 196 327 152 354 429 432 836 414 524 842 789 077 645 718 497 864 065 495 084 777 042 842 106 208 814 023 889 636 223 629 649 340 258 460 204 011 573 261 046 609 429 272 815 062 265 751 111 517 606 111 386 336 255 702 904 031 761 468 974 695 035 855 720 674 341 943 075 232 301 615 186 780 244 877 627 636 656 662 880 847 271 909 266 695 178 066 551 573 653 273 656 191 278 274 400 264 629 192 327 790 087 339 756 840 244 595 372 493 068 160 933 347 403 460 516 249 919 512 801 527 899 598 183 985 061 719 198 130 661 759 846 845 219 262 981 268 014 709 340 065 053 682 003 285 704 097 595 491 771 953 711 455 313 876 759 694 875 560 916 828 660 454 277 446 783 240 905 233 418 763 999 006 650 547 668 970 875 237 069 476 801 538 062 963 879 896 717 136 381 033 961 945 031 366 394 941 725 708 248 736 390 551 997 180 317 157 379 215 039 227 670 778 812 154 285 466 911 957 373 591 754 065 087 207 314 000 103 891 688 829 357 492 770 928 907 438 925 806 912 248 892 452 824 237 313 989 962 030 484 325 621 500 268 813 883 016 808 053 489 555 577 241 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 2.64 × 101 283
≈ 264 sesvigintiquadringentillion 343 quinquavigintiquadringentillion (short scale) / 264 tredeciducentilliard 343 tredeciducentillion (long scale)

#### Length 7

• 1-coloured: 992 (1 000)
• (Type 0: 8)
• Type 1.11: 48; 1; 1; 1; 6
• Type 2.11: 96; 1; 1; 1; 12
• Type 31: 64; 1; 1; 1; 8
• Type 1.12: 48; 1; 1; 1; 6
• Type 1.2.1: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.3: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.12: 96; 1; 1; 1; 12
• Type 2.2: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 32: 64; 1; 1; 1; 8
• 2-coloured: 600
• Type 1: 24; 2; (2); 2; 1
• Type 2.11: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 31: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.12: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.2: 192; 1; 1; 1; 4
• Type 32: 96; 2; 1; 2; 4
• 3-coloured: 160
• Type 1: 32; 6; (2); 2; 1
• Type 21: 64; 3; 2; 3; 1
• Type 22: 64; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Total pieces: 1 768 (1 776)
• Total stickers: 2 744

Number of positions:
(48!/(6!8))2 × (96!/(12!8))2 × (64!/(8!8))2 × (192!/(24!8))3 × (24! × 32!)/2 × 224/2 × 632/2 × (96!/(4!24) × 296/2)4 × 192!/(4!48) × (64!/2 × 364/3)2 × 16!/2 × 1216/3 =

= 7 337 434 319 892 034 996 539 696 541 015 901 415 176 457 460 392 528 463 625 581 457 640 190 365 116 823 390 530 468 023 715 626 526 604 429 606 969 805 616 601 628 970 051 880 888 221 134 913 733 165 242 077 154 984 281 530 898 689 210 269 679 941 460 759 042 817 683 844 933 089 851 453 698 786 864 794 509 863 349 741 970 302 551 602 027 225 039 347 843 681 705 446 657 258 545 461 739 566 813 908 631 336 581 590 420 532 625 083 295 176 663 101 780 841 177 664 939 331 096 229 452 451 761 341 509 712 179 348 271 654 146 635 232 206 207 257 145 217 543 018 207 256 806 903 111 979 941 166 140 911 102 180 432 245 784 317 454 583 918 904 739 384 594 483 197 623 183 376 642 997 335 334 478 805 426 209 502 639 545 897 480 783 647 870 916 254 696 882 917 264 073 532 728 057 276 929 238 687 121 003 677 882 434 826 433 768 137 084 883 560 942 881 754 713 988 411 137 695 657 827 755 581 220 475 341 892 350 700 315 863 584 019 320 116 799 474 271 941 770 640 430 497 091 924 893 647 932 769 111 387 023 164 496 140 365 705 162 073 522 805 447 981 437 237 060 797 325 911 512 333 632 245 324 294 571 094 828 861 153 948 146 642 421 067 494 918 560 280 584 263 583 974 933 262 660 188 923 205 830 916 147 294 131 550 057 497 975 713 597 841 005 820 756 860 142 542 552 272 136 473 538 143 935 027 919 465 169 944 302 762 294 980 523 719 862 246 174 774 873 985 636 528 613 875 824 567 333 274 247 166 660 065 136 263 780 641 061 489 712 950 208 711 944 880 176 558 443 555 260 816 530 945 232 318 977 598 718 253 880 188 102 252 310 950 057 168 527 143 193 434 346 902 155 597 905 349 847 003 282 215 417 962 790 632 702 486 685 454 347 658 908 629 068 736 261 539 454 839 276 588 212 572 015 509 557 565 832 068 644 402 147 424 507 190 806 802 318 401 494 966 290 208 967 366 739 850 738 305 982 026 207 363 516 060 988 262 550 558 510 071 563 675 994 172 714 090 959 554 252 546 549 736 444 404 418 528 297 665 812 213 337 994 772 824 176 931 199 518 923 651 112 811 989 192 488 892 331 387 807 234 610 522 563 432 772 967 036 846 700 100 926 382 558 858 400 930 752 481 663 448 427 943 140 312 222 916 020 055 739 864 957 842 450 041 652 916 128 937 513 204 716 260 395 278 790 457 482 646 797 357 391 185 125 968 701 385 369 075 149 622 931 701 434 104 886 292 221 266 238 962 342 058 411 451 381 092 046 248 013 448 852 753 164 740 383 183 670 573 734 756 917 231 004 019 687 082 631 664 153 921 434 344 437 975 032 713 445 376 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 7.34 × 102 070
≈ 7 novemoctogintasescentillion 337 octooctogintasescentillion (short scale) / 7 quinquaquadragintatrecentillion 337 quattuorquadragintatrecentilliard (long scale)

#### Length 8

• 1-coloured: 1 728
• Type 31: 64; 1; 1; 1; 8
• Type 1.31: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.21: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 32: 64; 1; 1; 1; 8
• Type 1.32: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.2.21: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.2.22: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.33: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.22: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.23: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 33: 64; 1; 1; 1; 8
• 2-coloured: 864
• Type 31: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.21: 192; 1; 1; 1; 4
• Type 32: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.22: 192; 1; 1; 1; 4
• Type 2.23: 192; 1; 1; 1; 4
• Type 33: 96; 2; 1; 2; 4
• 3-coloured: 192
• Type 21: 64; 3; 2; 3; 1
• Type 22: 64; 3; 2; 3; 1
• Type 23: 64; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Puzzle orientation constraint: 192
• Total pieces: 2 800
• Total stickers: 4 096

Number of positions:
((64!/(8!8))3 × (192!/(24!8))8 × (96!/(4!24) × 296/2)3 × (192!/(4!48))3 × (64!/2 × 364/3)3 × 16!/2 × 1216/3)/192 =

= 7 298 630 393 778 844 864 568 143 383 459 726 053 461 517 774 383 941 838 302 771 885 483 162 536 899 931 862 470 902 072 314 562 194 252 134 037 642 407 021 100 459 078 625 113 642 986 993 514 762 533 946 969 692 633 126 836 728 330 705 573 617 685 406 236 054 600 275 288 785 731 346 196 004 099 611 924 222 355 536 072 087 294 231 412 633 967 881 261 904 471 628 555 164 213 443 042 841 893 402 629 838 414 619 258 775 019 893 293 373 143 281 125 659 746 117 418 207 442 055 899 722 176 992 655 714 064 016 290 068 289 014 378 331 224 424 969 527 782 053 540 566 763 939 404 124 943 456 850 749 478 341 695 351 714 092 805 375 184 574 745 680 685 298 734 793 184 719 699 943 735 122 167 052 230 235 674 369 665 179 220 355 936 535 653 731 110 528 074 074 546 162 936 063 748 033 807 452 347 455 124 795 446 961 600 754 593 022 098 492 662 955 642 469 391 481 238 837 959 210 761 899 978 770 290 296 801 644 454 560 082 410 921 166 893 038 056 195 523 413 960 198 410 344 686 586 684 624 065 887 820 038 699 834 456 569 922 500 242 570 373 142 895 165 062 471 677 780 871 062 088 409 660 616 835 527 866 285 407 824 033 087 947 308 494 344 494 700 284 965 440 667 872 171 495 421 767 623 956 018 746 532 879 493 431 521 168 551 239 660 996 022 625 850 089 268 029 803 564 936 471 111 234 347 862 328 001 619 195 393 031 516 400 043 725 588 952 621 261 295 819 460 335 091 281 605 006 700 578 686 487 951 015 392 162 852 331 029 848 895 977 142 694 978 929 940 872 031 626 839 716 602 262 012 567 111 725 111 893 651 893 044 020 524 951 637 388 362 524 572 241 332 171 388 700 226 043 987 276 530 717 339 783 327 708 686 818 786 197 821 222 053 878 024 731 535 101 330 204 417 754 977 769 361 043 300 405 183 131 827 025 692 842 925 443 608 717 786 733 452 999 531 561 995 138 592 101 652 469 134 223 061 234 148 651 810 016 863 363 047 918 141 097 024 064 717 367 576 379 019 936 433 717 731 204 436 268 994 408 138 969 015 071 207 699 558 432 441 584 050 968 221 336 280 911 179 299 615 222 218 033 782 479 836 195 550 921 857 733 482 611 338 451 476 001 099 164 392 930 521 170 191 989 430 101 534 685 011 182 710 822 493 143 493 698 900 440 643 589 938 962 565 413 915 018 161 968 300 779 556 733 438 500 105 806 046 132 576 621 919 949 521 929 097 228 678 770 907 361 994 371 281 976 040 612 598 383 750 542 609 643 578 838 937 959 173 433 717 022 492 344 799 879 354 622 647 759 592 030 329 586 565 544 061 633 738 219 776 252 761 434 837 021 418 627 786 709 506 119 169 117 871 727 031 692 575 386 868 033 844 637 732 479 609 575 982 743 552 913 093 742 030 893 796 527 925 339 227 540 558 921 106 770 658 160 718 595 432 957 658 775 830 303 347 441 047 130 290 642 365 176 467 960 714 728 587 927 477 533 121 314 943 977 022 190 582 658 866 210 482 086 082 281 418 341 788 274 139 083 442 568 066 763 601 235 985 308 905 738 445 270 123 336 281 216 866 035 733 843 667 267 957 185 724 294 324 479 441 528 572 162 634 575 683 887 228 062 398 779 459 839 033 308 255 091 932 978 551 034 724 674 648 072 187 190 228 415 860 837 277 675 867 940 520 208 774 839 397 163 523 846 866 756 081 410 351 981 004 798 225 931 987 133 110 550 696 181 663 946 357 418 920 950 627 747 721 643 158 298 281 661 395 395 426 614 178 024 899 125 536 741 503 553 329 818 288 113 241 825 430 644 120 743 756 884 555 825 081 422 463 838 988 708 755 681 381 717 178 836 967 905 281 673 896 256 468 006 304 848 551 523 093 474 582 537 387 623 558 344 338 437 942 654 620 498 618 937 632 382 876 776 792 539 467 650 612 024 943 370 901 794 850 517 434 839 993 846 417 657 833 934 734 412 220 745 855 109 756 544 001 222 740 535 565 068 504 807 347 869 744 103 238 464 432 948 726 233 283 470 170 954 524 553 504 398 118 498 325 203 800 254 872 289 280 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 7.30 × 103 177
≈ 7 millioctoquinquagintillion 299 milliseptenquinquagintillion (short scale) / 7 novemvigintiquingentilliard 299 novemvigintiquingentillion (long scale)

#### Length 9

• 1-coloured: 2 736 (2 744)
• (Type 0: 8)
• Type 1.11: 48; 1; 1; 1; 6
• Type 2.11: 96; 1; 1; 1; 12
• Type 31: 64; 1; 1; 1; 8
• Type 1.12: 48; 1; 1; 1; 6
• Type 1.2.11: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.31: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.12: 96; 1; 1; 1; 12
• Type 2.21: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 32: 64; 1; 1; 1; 6
• Type 1.13: 48; 1; 1; 1; 6
• Type 1.2.12: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.32: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.2.13: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.2.21: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.2.22: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 1.33: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.13: 96; 1; 1; 1; 12
• Type 2.22: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 2.23: 192; 1; 1; 1; 24
• Type 33: 64; 1; 1; 1; 8
• 2-coloured: 1 176
• Type 1: 24; 2; (2); 2; 1
• Type 2.11: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 31: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.12: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.21: 192; 2; 1; 2; 4
• Type 32: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.13: 96; 2; 1; 2; 4
• Type 2.22: 192; 2; 1; 2; 4
• Type 2.23: 192; 2; 1; 2; 4
• Type 33: 96; 2; 1; 2; 4
• 3-coloured: 224
• Type 1: 32; 6; (2); 2
• Type 21: 64; 3; 2; 3; 1
• Type 22: 64; 3; 2; 3; 1
• Type 23: 64; 3; 2; 3; 1
• 4-coloured: 16; 12; 2; 3; 1
• Total pieces: 4 152 (4 160)
• Total stickers: 5 832

Number of positions:
(48!/(6!8))3 × (96!/(12!8))3 × (64!/(8!8))3 × (192!/(24!8))11 × (24! × 32!)/2 × 224/2 × 632/2 × (96!/(4!24) × 296/2)6 × (192!/(4!48))3 × (64!/2 × 364/3)3 × 16!/2 × 1216/3 =

= 287 720 610 342 142 638 099 343 160 892 803 846 287 353 342 063 763 109 985 307 281 171 530 927 114 024 104 078 642 361 774 862 521 032 248 362 521 424 764 192 019 062 345 635 969 295 125 170 661 286 072 914 609 064 946 120 060 335 707 139 872 262 695 919 038 177 318 231 518 172 018 499 210 909 318 840 744 667 866 291 511 085 965 689 346 067 403 281 854 871 197 798 890 812 943 326 824 640 736 563 948 775 652 140 367 740 010 015 631 377 344 284 477 115 731 013 982 635 791 500 678 029 613 764 894 109 395 818 031 762 415 226 111 145 719 626 805 077 478 462 378 948 887 474 806 842 869 895 696 708 147 773 711 160 365 991 235 656 867 231 484 004 778 442 203 331 643 310 284 547 713 784 486 181 648 936 821 787 075 783 550 228 123 130 415 837 138 014 753 779 572 742 973 871 168 343 371 201 820 870 458 410 952 760 980 242 141 059 500 287 492 908 517 502 563 849 227 132 472 062 089 916 965 101 738 606 947 333 510 123 550 398 790 895 898 149 476 665 324 083 012 153 265 747 830 168 253 713 085 847 854 544 363 729 805 568 120 346 814 411 966 022 937 838 870 031 323 200 401 084 480 566 529 799 186 350 279 750 837 745 789 704 619 578 466 605 238 106 035 925 959 831 674 461 158 014 230 961 791 578 761 736 461 402 551 992 417 825 390 233 787 773 834 917 572 130 737 124 855 591 498 702 062 004 675 530 380 594 713 878 473 005 236 013 848 821 718 240 973 436 373 321 289 902 537 467 680 489 242 861 433 397 776 835 164 532 404 600 480 470 288 698 241 616 437 343 022 182 600 771 639 804 430 297 206 085 513 566 783 108 926 199 773 306 406 772 417 289 807 850 233 011 994 446 976 457 695 070 082 019 621 764 798 058 491 741 448 215 195 773 170 890 915 159 243 344 703 440 938 067 059 519 585 270 141 482 670 760 668 120 722 744 586 741 916 658 509 355 997 035 115 359 000 359 531 160 726 890 683 395 901 336 867 168 248 021 283 961 267 250 732 258 031 418 818 435 265 746 034 817 822 343 392 482 495 324 689 270 877 247 494 527 456 998 427 180 187 755 226 458 065 576 140 796 416 210 203 250 353 954 134 543 481 941 240 720 984 093 796 824 983 512 236 914 220 998 624 395 640 897 377 058 090 648 988 115 325 292 967 525 453 639 841 349 773 306 272 111 316 958 039 883 469 099 284 416 233 384 086 262 589 758 696 907 365 840 247 908 192 615 922 617 172 684 825 444 364 277 200 130 935 478 504 254 198 187 785 451 187 150 447 941 895 471 988 655 114 463 720 497 568 861 265 943 923 320 467 122 820 904 247 231 579 577 882 555 054 939 459 680 454 984 461 381 818 990 363 773 477 736 262 787 769 044 398 594 211 609 874 855 705 693 986 143 071 257 363 673 753 946 265 895 144 129 893 167 212 151 748 888 617 791 127 180 828 458 134 412 349 079 758 301 211 743 863 533 594 643 286 566 331 512 498 529 062 504 758 456 535 199 341 378 180 796 853 986 358 535 823 595 140 285 120 788 867 888 340 266 938 584 770 309 044 901 038 017 531 742 052 158 502 824 115 366 725 841 305 625 242 242 199 045 498 941 101 359 329 751 489 664 494 622 456 348 668 690 065 668 600 010 324 328 533 831 286 953 544 656 401 151 133 341 799 285 700 305 425 006 989 263 580 490 671 610 420 878 753 703 879 216 129 960 722 903 621 993 374 764 652 473 703 823 767 212 161 507 092 847 766 137 561 334 921 929 064 325 625 270 076 379 019 173 182 881 144 984 655 642 337 113 210 962 357 687 488 222 335 127 764 184 642 816 033 293 747 664 628 672 496 494 046 970 787 532 368 159 065 501 894 544 413 645 421 751 637 191 777 538 752 762 221 586 324 275 665 141 877 143 888 218 183 490 801 944 665 875 151 675 769 348 043 308 822 309 111 619 548 331 111 889 041 731 603 438 292 954 860 630 338 980 960 432 499 287 876 696 655 714 941 748 511 094 761 618 448 320 578 202 377 203 491 475 753 365 952 805 639 707 681 386 905 517 324 900 182 400 577 043 163 822 295 276 864 841 057 930 782 106 081 125 810 029 961 826 245 319 063 703 107 848 085 349 230 762 031 386 914 334 770 291 688 480 431 565 516 661 253 101 878 386 069 921 961 494 432 283 945 804 363 424 376 933 945 498 180 861 196 358 926 118 552 776 496 422 410 021 714 624 000 246 179 608 392 650 847 001 463 956 881 767 937 683 918 984 983 851 429 742 120 354 512 607 170 741 894 908 495 208 761 472 937 302 396 568 205 425 685 617 105 250 336 057 772 866 186 657 085 991 446 721 096 600 383 107 286 354 226 860 511 607 238 164 457 031 014 412 954 440 437 330 825 085 925 388 440 643 697 982 773 797 023 414 174 670 752 499 943 864 191 473 251 980 905 464 920 998 194 537 111 018 452 261 496 463 528 499 896 058 816 881 917 196 777 135 334 465 663 235 931 322 479 195 243 346 392 325 086 924 031 361 545 914 566 206 145 591 085 147 725 920 489 903 498 056 298 781 952 906 031 474 081 424 266 872 286 453 604 488 124 517 047 286 312 592 527 372 121 289 723 644 354 326 312 209 823 240 416 644 640 119 537 881 015 756 410 301 479 473 426 377 219 237 459 164 467 708 558 723 034 133 087 030 495 823 395 395 310 558 474 014 261 174 752 171 002 782 061 505 871 297 825 935 268 803 353 355 317 166 194 404 309 684 560 541 268 535 053 486 419 748 559 735 566 231 958 409 705 932 095 234 053 185 517 361 202 213 491 286 492 062 396 684 585 746 807 982 046 097 525 084 485 293 512 210 894 350 573 939 380 175 849 887 040 956 737 752 021 607 589 279 168 335 716 464 017 748 059 642 403 147 514 895 377 267 295 402 868 972 262 361 343 302 807 393 397 046 327 434 346 812 942 507 402 536 292 701 824 106 397 015 154 067 059 730 706 185 686 243 202 106 273 501 225 679 419 604 992 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 2.88 × 104 562
≈ 287 millinovendeciquingentillion 721 millioctodeciquingentillion (short scale) / 287 sexagintaseptingentillion 721 novenquinquagintaseptingentilliard (long scale)

### {3}×{3}

• Shape: uniform triangular duoprism
• Cells (colours): 6
• Faces: 15 (9 squares, 6 triangles)
• Edges: 18
• Vertices: 9

#### Length 2

• (2-coloured: 6)
• 4-coloured: 9; 1; 2; 1; 1
• Total pieces: 9 (15)
• Total stickers: 48

Number of positions:
9!/2 =
= 181 440 ≈
≈ 1.81 × 105
= 181 thousand 440

#### Length 3

• 1-coloured: 18
• Type 11: 9; 1; 1; 1; 3
• Type 12: 9; 1; 1; 1; 3
• 2-coloured: 27
• Type 11: 9; 2; 1; 2; 3
• Type 12: 9; 2; 1; 2; 3
• Type 2: 9; 1; (2); 1; 1
• 3-coloured: 18
• Type 11: 9; 2; (2); 2; 1
• Type 12: 9; 2; (2); 2; 1
• 4-coloured: 9; 2; (2); 2; 1 *Puzzle orientation constraint: 18
• Total pieces: 72
• Total stickers: 162

Number of positions: ((9!/(3!3))2 × (9!/(3!3) × 29/2)2 × (9! × 9!2 × 9!)/2 × (29/2)2 × 29/2)/18 =
= 4 218 777 141 356 540 340 690 364 512 335 403 417 600 000 000 ≈
≈ 4.22 × 1045
≈ 4 quattuordecillion 219 tredecillion (short scale) / 4 septilliard 219 septillion (long scale)

## Magic120Cell

Calculated by David Smith.

### {5,3,3}

• Shape: regular 120-cell (hecatonicosachoron)
• Cells (colours): 120 regular dodecahedra {5,3}
• Faces: 720 regular pentagons {5}
• Edges: 1 200
• Vertices: 600

#### Length 3

• (1-coloured: 120)
• 2-coloured: 720; 2; 2; 2; 1
• 3-coloured: 1 200; 6; 2; 2; 1
• 4-coloured: 600; 12; 2; 3; 1
• Total pieces: 2 520 (2 640)
• Total stickers: 7 560

Number of positions:
720!/2 × 2720/2 × 1200!/2 × 61200/2 × 600!/2 × 12600/3 =

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994 733 708 058 040 572 024 450 182 896 514 659 885 925 637 625 707 421 001 762 988 412 973 222 775 700 881 854 246 867 209 282 812 969 024 120 912 611 719 453 101 515 559 612 768 702 911 263 725 124 362 700 695 283 007 427 158 938 273 753 421 007 871 320 460 511 374 328 014 288 926 721 919 717 035 489 582 163 680 862 223 974 028 925 034 235 784 987 192 176 322 008 136 686 679 929 878 224 156 104 032 641 507 539 276 418 887 423 987 558 437 644 584 424 625 778 012 130 071 092 874 015 517 584 127 868 450 228 205 391 862 420 918 010 014 972 651 430 621 067 311 360 911 709 124 613 565 223 035 254 373 475 279 222 721 857 792 173 328 260 547 996 939 875 237 576 837 159 815 118 684 379 956 285 282 340 829 129 114 813 124 511 441 480 674 223 236 440 806 564 494 904 761 786 997 497 220 866 072 080 531 251 512 359 233 089 746 999 153 404 027 542 561 581 016 655 986 290 453 613 626 399 014 292 854 794 414 276 344 511 148 330 328 685 197 189 376 868 495 672 292 922 197 308 630 407 065 165 346 612 255 225 949 161 931 359 823 607 526 307 020 240 836 436 949 830 937 069 849 809 308 482 400 043 027 861 424 437 961 373 704 458 350 556 213 509 799 267 805 260 822 568 001 712 636 170 958 894 341 958 120 566 294 218 192 269 192 589 063 843 887 982 763 996 918 636 921 155 601 261 407 156 101 091 140 031 498 494 494 124 455 479 183 960 537 854 210 220 332 286 311 777 160 818 120 201 556 745 279 866 499 568 318 367 666 713 126 108 104 030 610 697 346 947 842 941 118 989 099 929 505 001 072 885 907 143 020 380 705 671 971 970 771 746 411 976 494 006 132 897 624 407 479 995 947 118 186 774 783 800 933 226 933 904 434 976 150 679 085 810 250 987 241 214 902 290 157 997 887 959 501 532 373 654 044 650 464 540 724 827 124 442 974 862 512 599 608 887 589 752 218 559 193 144 931 596 281 284 315 382 618 742 792 620 666 168 815 937 879 429 611 156 691 059 275 386 225 869 085 102 052 230 791 603 298 909 766 132 431 843 745 422 700 743 736 105 365 752 210 463 536 553 090 494 110 909 442 611 137 994 691 371 854 373 062 622 155 659 107 585 797 616 686 931 874 970 164 036 381 491 924 856 162 327 083 872 159 832 784 892 871 225 173 838 934 455 509 878 869 052 143 626 779 256 827 430 593 180 929 071 598 237 892 323 881 917 437 767 124 611 594 812 833 324 722 831 912 849 909 628 709 036 406 418 925 007 261 761 200 623 236 257 957 747 401 814 104 819 201 322 380 783 299 932 882 694 977 050 696 484 128 986 066 828 920 582 164 145 351 377 031 723 253 492 260 364 352 335 000 600 881 110 191 721 104 936 448 981 989 082 797 355 346 681 231 270 079 424 797 013 624 959 971 368 830 975 248 367 892 523 082 396 738 072 274 831 267 273 049 793 679 458 450 960 225 575 330 908 403 250 559 251 273 694 914 050 780 115 696 009 598 290 555 923 549 819 002 652 129 928 887 453 752 308 595 504 491 186 854 693 165 582 667 611 111 414 091 791 772 144 937 304 305 990 824 075 969 774 780 698 659 600 903 247 322 382 509 271 117 981 454 345 778 343 923 721 701 140 340 403 871 427 309 462 919 487 685 185 442 914 605 949 181 042 724 392 972 706 601 952 392 046 985 121 203 872 647 448 592 119 206 672 539 522 584 235 061 875 250 569 155 009 801 753 244 529 742 915 483 006 071 654 290 990 776 376 332 377 597 123 229 369 363 319 211 034 520 828 156 163 836 265 997 516 927 340 541 251 426 934 242 084 412 591 407 399 673 219 421 034 603 904 857 351 254 920 453 819 936 144 160 298 158 892 279 656 437 272 980 263 715 096 746 399 622 026 992 509 662 606 254 579 651 749 991 204 772 662 937 610 983 604 733 514 590 588 466 763 484 779 753 365 217 869 789 011 109 367 047 291 274 553 969 425 542 647 205 414 931 723 513 675 862 785 211 800 955 378 173 675 246 094 101 265 389 571 455 680 897 196 882 022 023 370 818 552 428 926 324 734 529 251 413 367 934 964 381 909 880 343 066 993 726 638 347 012 446 562 279 909 471 006 658 710 992 879 365 753 689 135 552 972 521 026 921 857 196 917 515 279 611 839 224 552 317 237 178 708 422 716 859 793 076 637 548 113 473 097 626 484 088 093 756 237 600 210 035 626 235 107 696 623 982 892 463 214 959 186 113 390 887 996 406 714 662 349 935 032 809 366 747 705 659 287 390 572 211 075 284 469 667 754 831 557 721 429 953 302 943 200 845 519 172 754 076 028 783 021 881 385 289 734 946 206 816 182 672 349 638 262 546 516 746 190 184 004 943 185 052 489 018 407 136 301 332 421 978 685 188 429 040 584 176 333 209 422 917 640 992 438 642 326 814 484 719 887 971 140 617 271 406 785 982 756 642 098 882 530 214 055 198 156 321 687 465 084 510 626 866 098 541 410 124 686 029 015 270 199 271 073 463 246 913 906 027 315 236 159 811 812 426 751 417 487 110 100 479 881 455 904 096 718 779 749 277 515 897 027 333 976 945 734 065 218 134 270 434 752 361 004 732 388 011 501 437 200 686 719 863 079 687 918 517 352 602 378 309 935 928 395 165 534 054 555 711 853 421 756 020 795 519 940 442 409 633 728 383 995 394 357 388 277 230 454 238 664 055 061 747 285 720 327 136 114 251 359 554 586 129 278 357 158 728 391 085 518 469 776 826 036 552 227 291 371 458 293 565 838 638 186 496 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 2.34 × 108 126
≈ 234 duomilliseptenseptingentillion 350 duomilliseseptingentillion (short scale) / 234 milliquattuorquinquagintatrecentillion 350 millitresquinquagintatrecentilliard (long scale)

## MagicCube5D

Calculated by David Smith.

### {4,3,3,3}

• Shape: Penteract
• 4-faces (colours): 10 tesseracts {4,3,3}
• Cells: 40 cubes {4,3}
• Faces: 80 squares {4}
• Edges: 80
• Vertices: 32

#### Length 2

• 5-coloured: 32; 60; 2; 1; 1
• Puzzle orientation constraint: 1 920
• Total pieces: 32
• Total stickers: 160

Number of positions:
(32!/2 × 6032)/1920 =
= 54 535 655 175 308 197 058 635 263 389 110 963 213 764 726 777 446 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈
≈ 5.45 × 1088
≈ 54 octovigintillion 536 septemvigintillion (short scale) / 54 quattuordecilliard 536 quattuordecillion

#### Length 3

• (1-coloured: type 1: 10)
• 2-coloured: type 1: 40; 2; (2); 2; 1
• 3-coloured: type 1: 80; 6; (2); 2; 1
• 4-coloured: type 1: 80; 24; 2; 2; 1
• 5-coloured: 32; 60; 2; 1; 1
• Total pieces: 232 (242)
• Total stickers: 800

Number of positions:
(40! × 80!)/2 × 240/2 × 680/2 × 80!/2 × 2480/2 × 32!/2 × 6032 =
= 701 667 712 402 950 678 588 563 925 537 442 843 125 814 486 474 172 376 339 080 083 735 282 432 570 880 422 175 614 251 163 058 229 250 653 847 841 202 640 036 019 428 140 364 685 715 598 365 298 331 873 395 846 086 528 536 260 972 280 760 386 269 552 019 118 684 785 923 871 866 118 371 825 759 785 012 234 146 827 079 564 220 427 338 910 666 898 674 313 780 003 300 502 236 858 905 700 554 243 767 722 706 512 968 255 467 907 689 651 857 607 094 055 701 717 148 055 663 687 118 563 692 897 948 419 085 505 315 326 824 962 012 039 175 406 034 820 217 915 303 954 177 226 545 938 524 363 992 267 629 090 384 186 791 766 814 569 267 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈
≈ 7.02 × 10560
≈ 701 quinquaoctogintacentillion 668 quattuoroctogintacentillion (short scale) / 701 trenonagintillion 668 duononagintilliard (long scale)

#### Length 4

• 1-coloured: type 5: 160; 1; 1; 1; 16
• 2-coloured: type 4: 320; 2; 1; 2; 8
• 3-coloured: type 3: 320; 6; 1; 2; 4
• 4-coloured: type 2: 160; 12; 2; 3; 1
• 5-coloured: 32; 60; 2; 1; 1
• Puzzle orientation constraint: 1 920
• Total pieces: 992
• Total stickers: 2 560

Number of positions:
(160!/(16!10) × 320!/(8!40) × 2320/2 × 320!/(4!80) × 6320/2 × 160!/2 × 12160/3 × 32!/2 × 6032)/ 1920 =

= 329 258 817 090 464 311 419 012 233 046 978 426 360 158 605 795 977 131 940 223 230 435 097 869 919 859 586 699 140 369 170 815 039 190 102 139 049 185 312 695 181 218 968 746 923 853 410 843 685 525 261 643 119 750 409 364 803 904 377 420 404 711 265 372 946 648 200 199 642 462 697 534 931 009 574 396 412 235 997 741 126 965 917 568 483 121 979 830 246 663 436 534 365 203 153 651 017 870 287 935 678 667 319 720 373 334 817 163 947 574 944 903 018 924 762 125 397 059 043 303 724 684 994 061 492 600 399 152 245 408 467 451 054 222 242 623 933 920 712 849 736 956 525 360 427 315 837 912 334 435 027 044 822 163 933 734 072 209 292 915 555 775 468 708 127 133 353 449 355 022 472 887 388 942 874 891 462 626 199 801 944 047 834 417 856 614 426 628 542 638 474 541 136 391 849 035 063 235 221 285 223 467 321 748 368 506 014 457 845 896 547 461 455 850 760 787 280 484 567 491 508 403 703 415 886 835 653 219 713 941 459 369 901 867 028 171 572 852 213 370 834 360 897 058 493 037 563 580 594 557 174 708 581 542 792 082 257 298 444 906 818 514 086 713 485 707 083 464 971 906 543 442 722 359 115 905 244 647 515 430 463 061 136 552 484 130 503 280 040 096 452 627 348 006 698 959 149 964 681 951 621 637 274 204 744 919 841 785 915 589 132 723 509 507 926 586 079 720 706 128 410 637 488 279 370 221 188 495 470 258 029 468 127 436 426 526 362 520 619 549 555 604 101 007 513 811 594 696 214 011 684 114 749 010 156 924 735 658 453 522 125 972 528 061 153 537 466 316 535 306 095 178 484 714 940 903 036 286 768 547 981 096 802 166 745 652 404 844 042 933 459 417 476 639 613 979 811 251 983 932 936 459 830 427 643 557 292 263 979 875 049 074 355 021 769 999 385 484 556 708 201 030 479 649 241 606 472 656 901 848 969 488 395 723 900 618 963 451 793 918 910 196 638 024 341 119 334 041 999 716 958 329 437 618 859 694 196 278 022 967 518 616 323 150 193 717 241 617 439 227 464 441 273 126 623 600 061 301 408 854 484 592 567 520 393 106 376 946 128 497 710 024 563 911 818 551 909 198 932 311 975 727 737 368 699 337 712 022 727 069 323 470 751 622 830 345 042 373 084 798 131 181 275 673 443 484 935 113 105 727 775 844 362 068 570 162 046 349 449 717 687 506 740 733 935 559 816 398 802 377 138 304 163 893 790 041 113 859 507 798 016 124 423 134 839 501 583 639 476 256 162 266 507 172 848 550 206 867 719 601 607 477 720 397 898 913 538 531 371 859 021 518 276 873 497 082 971 942 412 335 821 858 166 889 228 708 566 721 367 703 811 317 996 536 977 600 302 207 464 487 459 270 311 280 640 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 3.29 × 102 075
≈ 329 nonagintasescentillion 259 novemoctogintasescentillion (short scale) / 329 quinquaquadragintatrecentilliard 259 quinquaquadragintatrecentillion (long scale)

#### Length 5

• 1-coloured: 800 (810)
• (Type 1: 10)
• Type 2.1: 80; 1; 1; 1; 8
• Type 3.1: 240; 1; 1; 1; 24
• Type 4.1: 320; 1; 1; 1; 32
• Type 5: 160; 1; 1; 1; 16
• 2-coloured: 1 080
• Type 1: 40; 2; (2); 2; 1
• Type 2.1: 240; 2; 1; 2; 6
• Type 3.1: 480; 2; 1; 2; 12
• Type 4: 320; 2; 1; 2; 8
• 3-coloured: 720
• Type 1: 80; 6; (2); 2; 1
• Type 2.1: 320; 6; 1; 2; 4
• Type 3: 320; 6; 1; 2; 4
• 4-coloured: 240
• Type 1: 80; 24; 2; 2; 1
• Type 2: 160; 12; 2; 3; 1
• 5-coloured: 32; 60; 2; 1; 1
• Total pieces: 2 872 (2 882)
• Total stickers: 6 520

Number of positions:
80!/(8!10) × 240!/(24!10) × 320!/(32!10) × 160!/(16!10) × (40! × 80!)/2 × 240/2 × 680/2 × 240!/(6!40) × 2240/2 × 480!/(12!40) × 2480/2 × 320!/(8!40) × 2320/2 × (320!/(4!80) × 6320/2)2 × 80!/2 × 2480/2 × 160!/2 × 12160/3 × 32!/2 × 6032 =

= 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≈ 2.32 × 105 267
≈ 231 milliquattuorquinquagintaseptingentillion 742 millitresquinquagintaseptingentillion (short scale) / 231 septenseptuagintaoctingentilliard 742 septenseptuagintaoctingentillion (long scale)

#### Length 6

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Number of positions:
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≈ 3.49 × 1011 441
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#### Length 7

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Number of positions:
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≈ 2.29 × 1021 503
≈ 228 septemillisesexagintacentillion 762 septemilliquinquasexagintacentillion (short scale) / 228 tremillitresoctogintaquingentilliard 762 tremillitresoctogintaquingentillion (long scale)

## Magic Cube 7D

### {4,3,3,3,3}

• Shape: hexeract
• 5-faces (colours): 12 penteracts {4,3,3,3}
• 4-faces: 60 tesseracts {4,3,3}
• Cells: 160 cubes {4,3}
• Faces: 240 squares {4}
• Edges: 192
• Vertices: 64

#### Length 3

• (1-coloured: type 1: 12)
• 2-coloured: type 1: 60; 2; (2); 2; 1
• 3-coloured: type 1: 160; 6; (2); 2; 1
• 4-coloured: type 1: 240; 24; 2; 2; 1
• 5-coloured: type 1: 192; 120; 2; 2; 1
• 6-coloured: 64; 360; 2; 1; 1
• Total pieces: 716 (728)
• Total stickers: 2 916

Number of positions:
(60! × 160!)/2 × 260/2 × 6160/2 × 240!/2 × 24240/2 × 192!/2 × 120192/2 × 64!/2 × 36064 =

= 117 830 646 327 301 102 001 381 932 234 825 813 455 737 820 167 171 558 891 357 150 044 015 046 470 912 198 917 579 926 615 101 044 523 380 471 181 957 599 371 872 819 349 214 403 025 447 760 696 981 189 497 098 230 130 973 842 646 300 847 939 477 767 718 435 562 562 322 083 995 296 010 491 928 998 641 158 137 816 011 067 748 022 924 389 730 962 888 719 793 487 980 002 077 976 091 597 851 838 119 659 543 499 587 802 462 522 517 982 254 321 013 551 949 845 021 648 379 447 131 163 050 519 959 045 445 851 938 813 439 047 244 933 775 370 987 648 966 504 658 336 960 327 895 668 499 948 685 438 924 206 522 635 232 980 640 062 442 234 183 576 342 561 107 457 034 345 521 700 082 547 062 040 311 670 040 473 985 286 191 841 967 268 193 779 439 936 077 866 952 811 298 376 311 582 454 383 178 900 566 708 999 788 658 193 038 072 510 762 374 541 776 287 476 574 658 810 226 160 708 175 563 726 596 277 195 756 938 001 615 437 073 197 659 200 263 206 226 093 198 642 305 640 953 103 231 679 033 706 497 925 338 304 588 495 084 960 220 346 354 084 932 423 258 268 446 046 425 705 838 091 722 141 053 119 704 235 020 728 797 158 253 128 895 700 478 455 123 566 593 829 466 989 601 412 909 332 280 864 781 079 462 819 443 002 938 818 344 964 848 666 995 696 103 389 115 396 081 722 202 743 909 362 475 815 434 236 947 293 888 204 680 132 610 936 238 865 667 392 888 933 167 597 558 665 861 628 399 109 566 824 998 373 074 927 245 349 043 255 253 076 229 429 313 078 443 866 935 828 025 727 228 785 592 934 590 003 726 731 333 385 473 074 967 615 920 210 729 525 878 300 726 623 347 753 347 148 585 007 086 975 269 112 823 257 877 735 638 809 588 431 785 344 797 640 040 441 321 515 790 280 886 195 155 957 884 850 786 641 017 871 897 562 711 683 720 956 263 082 549 805 194 170 212 865 521 000 793 221 028 592 305 084 122 464 549 315 114 179 167 600 139 603 575 717 727 035 324 367 356 386 764 685 641 890 497 933 747 924 068 590 379 855 697 147 602 869 096 167 910 170 074 958 363 787 017 730 487 279 936 829 015 730 807 154 738 834 528 036 354 004 349 553 067 029 995 321 649 008 635 987 102 232 935 144 898 850 541 393 858 275 358 309 629 107 299 466 773 012 964 626 269 360 841 411 857 059 389 057 287 481 671 669 812 159 617 864 319 585 106 484 328 180 522 765 252 436 178 766 309 881 824 424 518 437 162 759 454 061 074 480 512 409 610 857 154 526 715 306 404 642 576 170 255 520 745 110 897 812 382 641 778 001 581 580 007 384 277 400 864 347 839 931 065 039 970 261 122 602 312 930 798 780 898 127 978 531 378 954 240 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈

≈ 1.18 × 102 315
≈ 117 septuagintaseptingentillion 831 novensexagintaseptingentillion (short scale) / 117 quinquaoctogintatrecentilliard 831 quinquaoctogintatrecentillion (long scale)

#### Length 4

• 1-coloured: type 6: 384; 1; 1; 1; 32
• 2-coloured: type 5: 960; 2; 1; 2; 16
• 3-coloured: type 4: 1 280; 6; 1; 2; 8
• 4-coloured: type 3: 960; 24; 1; 2; 4
• 5-coloured: type 2: 384; 60; 2; 1; 1
• 6-coloured: 64; 360; 2; 1; 1
• Puzzle orientation constraint: 23 040
• Total pieces: 4 032
• Total stickers: 12 288

Number of positions:
(384!/(32!12) × 960!/(16!60) × 2960/2 × 1280!/(8!160) × 61280/2 × 960!/(4!240) × 24!960/2 × 384!/2 × 60384 × 64!/2 × 36064)/23040 =

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≈ 1.11 × 1032 737
≈ 11 decimilliundecinongentillion 148 decimillidecinongentillion (short scale) / 11 quinquamillisesquinquagintaquadringentillion 148 quinquamilliquinquaquinquagintaquadringentilliard (long scale)

#### Length 5

• 1-coloured: 2 904 (2 916)
• (Type 1: 12)
• Type 2: 120; 1; 1; 1; 10
• Type 3: 480; 1; 1; 1; 40
• Type 4: 960; 1; 1; 1; 80
• Type 5: 960; 1; 1; 1; 80
• Type 6: 384; 1; 1; 1; 32
• 2-coloured: 4 860
• Type 1: 60; 2; (2); 2; 1
• Type 2: 480; 2; 1; 2; 8
• Type 3: 1 440; 2; 1; 2; 24
• Type 4; 1 920; 2; 1; 2; 32
• Type 5: 960; 2; 1; 2; 16
• 3-coloured: 4 320
• Type 1: 160; 6; (2); 2; 1
• Type 2: 960; 6; 1; 2; 6
• Type 3: 1 920; 6; 1; 2; 12
• Type 4: 1 280; 6; 1; 2; 8
• 4-coloured: 2 160
• Type 1: 240; 24; 2; 2; 1
• Type 2: 960; 24; 1; 2; 4
• Type 3: 960; 24; 1; 2; 4
• 5-coloured: 576
• Type 1: 192; 120; 2; 2; 1
• Type 2: 384; 60; 2; 1; 1
• 6-coloured: 64; 360; 2; 1; 1
• Total pieces: 14 884 (14 896)
• Total stickers: 37 500

Number of positions:
120!/(10!12) × 480!/(40!12) × (960!/(80!12))2 × 384!/(32!12) × (60! × 160!)/2 × 260/2 × 6160/2 × 480!/(8!60) × 2480/2 × 1440!/(24!60) × 21440/2 × 1920!/(32!60) × 21920/2 × 960!/(16!60) × 2960/2 × 960!/(6!160) × 6960/2 × 1920!/(12!160) × 61920/2 × 1280!/(8!160) × 61280/2 × 240!/2 × 24240/2 × (960!/(4!240) × 24960/2)2 × 192!/2 × 120192/2 × 384!/2 × 60384 × 64!/2 × 36064 =
≈ 6.69 × 10^35 515
≈ 66 undecimilliseptentrigintaoctingentillion 861 undecimillisestrigintaoctingentillion (short scale) / 66 quinquamillinovendecinongentillion 861 quinquamillioctodecinongentilliard (long scale)

### {4,3,3,3,3,3}

• Shape: hepteract
• 6-faces (colours): 14 hexeracts {4,3,3,3,3}
• 5-faces: 84 penteracts {4,3,3,3}
• 4-faces: 280 tesseracts {4,3,3}
• Cells: 560 cubes {4,3}
• Faces: 672 squares {4}
• Edges: 448
• Vertices: 128

#### Length 3

• (1-coloured: 14)
• 2-coloured: 84; 2; (2); 2; 1
• 3-coloured: 280; 6; (2); 2; 1
• 4-coloured: 560; 24; 2; 2; 1
• 5-coloured: 672; 120; 2; 2; 1
• 6-coloured: 448; 720; 2; 2; 1
• 7-coloured: 128; 2 520; 2; 1; 1
• Total pieces: 2 172 (2 186)
• Total stickers: 10 206

Number of positions:
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